|
ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۱
۱) نمودار تابعهای زیر را رسم و دامنه و برد آنها را مشخص کنید.
$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ 3x + 1 & x \le 0 \end{cases}$$
$$g(x) = \begin{cases} 2x - 5 & x > 2 \\ 1 & -3 < x \le 2 \\ -\frac{1}{2}x & x \le -3 \end{cases}$$
مقادیر $$f(0)$$، $$f(-2)$$، $$f(5)$$، $$g(0)$$، $$g(2)$$ و $$g(-\frac{1}{5})$$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۱
سلام به همگی! بیایید این تمرین مربوط به **توابع چندضابطهای** را با هم حل کنیم. در این توابع، بسته به اینکه ورودی ($$x$$) در چه محدودهای باشد، از ضابطه مخصوص به آن استفاده میکنیم.
**گام اول: محاسبه مقادیر خواسته شده**
* **برای تابع $$f$$:**
* $$f(0)$$: چون $$0 \le 0$$ است، از ضابطه دوم استفاده میکنیم: $$3(0) + 1 = 1$$.
* $$f(-2)$$: چون $$-2 \le 0$$ است، از ضابطه دوم استفاده میکنیم: $$3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5$$.
* $$f(5)$$: چون $$5 > 0$$ است، از ضابطه اول استفاده میکنیم: $$5^2 = 25$$.
* **برای تابع $$g$$:**
* $$g(0)$$: چون $$0$$ بین $$-3$$ و $$2$$ است، مقدار تابع طبق ضابطه دوم برابر با **۱** است.
* $$g(2)$$: چون $$2$$ در بازه ضابطه دوم (با علامت مساوی) قرار دارد، مقدار تابع برابر با **۱** است.
* $$g(-\frac{1}{5})$$: چون $$-0.2$$ بین $$-3$$ و $$2$$ قرار دارد، باز هم مقدار تابع برابر با **۱** است.
**گام دوم: تعیین دامنه و برد**
* **تابع $$f$$:**
* **دامنه**: تمام اعداد حقیقی ($$\mathbb{R}$$) را پوشش میدهد چون تمام مقادیر بزرگتر، کوچکتر و مساوی صفر تعریف شدهاند.
* **برد**: با توجه به رسم، خروجیهای ضابطه اول تمام اعداد مثبت و ضابطه دوم اعداد کوچکتر یا مساوی ۱ هستند، پس برد کل اعداد حقیقی است.
* **تابع $$g$$:**
* **دامنه**: تمام مقادیر $$x$$ تعریف شدهاند، پس دامنه $$\mathbb{R}$$ است.
* **برد**: با بررسی هر ضابطه در بازه خودش، برد را میتوان مجموعهای از بازهها دانست.
ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۲
۲) نمودار تابع قطعهای $$f$$ داده شده است. ضابطه آن را به دست آورید. دامنه و برد این تابع را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - تمرین ۲
در این سوال باید مهندسی معکوس کنیم! یعنی از روی نمودار، ضابطه ریاضی را بنویسیم.
**گام اول: تشخیص بخشهای مختلف نمودار**
نمودار از سه بخش تشکیل شده است:
۱. **بخش اول (سمت چپ):** یک خط است که از نقطه $$(-2, -3)$$ شروع شده و به $$(0, 0)$$ ختم میشود. شیب این خط برابر با $$\frac{3}{2}$$ است، پس ضابطه آن در بازه $$x \le 0$$ برابر $$y = \frac{3}{2}x$$ میباشد.
۲. **بخش دوم (وسط):** یک خط افقی روی ارتفاع $$y=1$$ است که از $$x=0$$ (توخالی) تا $$x=1$$ (توخالی) ادامه دارد.
۳. **بخش سوم (سمت راست):** یک نیمخط که از نقطه $$(1, 2)$$ شروع شده و با شیب منفی به پایین میرود.
**گام دوم: نوشتن ضابطه نهایی**
$$f(x) = \begin{cases} \frac{3}{2}x & x \le 0 \\ 1 & 0 < x < 1 \\ -2x + 4 & x \ge 1 \end{cases}$$ (ضابطه بخش سوم با توجه به نقاط فرضی رسم شده است).
**گام سوم: دامنه و برد**
* **دامنه**: با توجه به پیوستگی تصویر روی محور $$x$$ها، دامنه برابر با $$\mathbb{R}$$ است.
* **برد**: پایینترین نقطه نمایش داده شده در تصویر تا بینهایت بالا ادامه ندارد. با توجه به فلشها، برد از منفی بینهایت تا بالاترین مقدار عرض یعنی $$y=2$$ (اگر نقطه توپر باشد) ادامه دارد.
ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - فعالیت انتقال توابع
نمودارهای توابع $$f(x)=2x$$، $$g(x)=|x|$$ و $$h(x)=x^2$$ و توابع $$f(x)=2x+3$$، $$g(x)=|x|+3$$ و $$h(x)=x^2+3$$ داده شدهاند. توضیح دهید که سه تابع آخر چگونه به کمک سه تابع اول رسم شدهاند. سپس توابع $$f(x)=2x-\frac{3}{4}$$، $$g(x)=|x|-\frac{3}{4}$$ و $$h(x)=x^2-\frac{3}{4}$$ را به همین روش رسم کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۱۳ - فعالیت انتقال توابع
این فعالیت به ما یاد میدهد که چگونه بدون محاسبه مجدد، نمودارها را جابجا کنیم. این مفهوم در ریاضیات **انتقال عمودی** نامیده میشود.
**تحلیل اول:**
توابع دسته اول (نارنجی) توابع مادر هستند. وقتی عدد ۳ به کل ضابطه اضافه شده است ($$+3$$)، نمودارها دقیقاً به اندازه **۳ واحد به سمت بالا** منتقل شدهاند. تمام نقاط با همان شکل قبلی، فقط ۳ واحد عمودیتر شدهاند.
**روش رسم توابع جدید:**
برای رسم دستهی آخر که عدد $$\frac{3}{4}$$ از آنها کم شده است ($$-\frac{3}{4}$$)، کافی است:
۱. نمودارهای اصلی (نارنجی) را در نظر بگیرید.
۲. تمام نقاط نمودار را به اندازه **$$\frac{3}{4}$$ واحد (۰.۷۵ واحد) به سمت پایین** جابجا کنید.
**نکته کلیدی:** اگر به ضابطه تابع عدد مثبت اضافه شود، نمودار بالا میرود و اگر عدد منفی اضافه (یا کم) شود، نمودار پایین میآید.
